Question

11．已知函数f（x）=log_a（a-k•a^x）（a＞0，a≠1）．
（1）当a∈（0，1）时，函数f（x）在[1，+∞）上有意义，求实数k的取值范围；
（2）当a＞1时，若函数f（x）的反函数就是它本身，求k的值及函数f（x）的解析式．

Answer 1

分析 （1）根据对数函数的意义，a-k•a^x＞0，利用分离常数法求出k的取值范围；
（2）求出函数y的反函数，利用原函数与反函数是同一函数，列出关于k的恒等式，从而求出k的取值范围．

解答 解：（1）函数f（x）=log_a（a-k•a^x）（a＞0，a≠1），
当a∈（0，1）时，函数f（x）在[1，+∞）上有意义，
∴a-k•a^x＞0，
即a＞k•a^x，
∴k＜a^1-x；
当x∈[1，+∞）时，1-x∈（-∞，0]，
又a∈（0，1），
∴a^1-x≥a⁰=1，
∴实数k的取值范围是k＜1；
（2）∵y=f（x）=log_a（a-ka^x），a＞1，
∴a^y=a-ka^x，
∴x=log_a$\frac{a{-a}^{y}}{k}$，
交换x、y的位置，得
f（x）的反函数为y=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$；
又∵f（x）的原函数与反函数是同一函数，
∴log_a（a-ka^x）=log_a$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即a-ka^x=$\frac{a{-a}^{x}}{k}$恒成立，
即（k²-1）a^x+（1-k）a=0恒成立，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{k}^{2}-1=0}\\{1-k=0}\end{array}\right.$，
解得k=1；
此时f（x）=log_a（a-a^x），（a＞1）．

点评 本题考查了对数函数与反函数的应用问题，考查了不等式的解法与应用问题，是综合性题目．