Question

16．已知函数$f（x）=x+\frac{a}{x}，a∈R，g（x）={x^2}-2mx+2，m∈R$
（1）当a＜0时，判断f（x）在（0，+∞）上的单调性；
（2）当a=-4时，对任意的实数x₁，x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≤g（x₂），求实数m的取值范围；
（3）当$m=\frac{3}{2}时$，$F（x）=\left\{\begin{array}{l}f（x），x＜\frac{1}{2}且x≠0\\ g（x），x≥\frac{1}{2}\end{array}\right.$，y=|F（x）|在（0，1）上单调递减，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，通过a的符号，判断函数的符号，求出函数的单调性即可；
（2）问题转化为f（x）_max≤g（x）_min，求出f（x）的最大值，根据二次函数的性质得到关于m的不等式组，解出即可；
（3）通过讨论a的范围，得到关于a的不等式组，解出即可．

解答 解：（1）a＜0时，f′（x）=1-$\frac{a}{{x}^{2}}$＞0，
故f（x）在（0，+∞）递增；
（2）若对任意的实数x₁，x₂∈[1，2]，都有f（x₁）≤g（x₂），
则f（x）_max≤g（x）_min，
a=-4时，f（x）=x-$\frac{4}{x}$，f′（x）=1+$\frac{4}{{x}^{2}}$＞0，
f（x）在[1，2]递增，
∴f（x）_max=f（2）=0，
而g（x）=x²-2mx+2，x∈[1，2]，
对称轴x=m，
由题意得：
$\left\{\begin{array}{l}{m≤1}\\{g（1）=3-2m≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{1＜m＜2}\\{g（m）=2{-m}^{2}≥0}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m≥2}\\{g（2）=4-4m+2≥0}\end{array}\right.$，
解得：m≤1或1＜m≤$\sqrt{2}$或m∈∅，
故m≤$\sqrt{2}$；
（3）a=0时，显然不成立，
a＞0时，f（x）＞0在（0，$\frac{1}{2}$）恒成立且在（0，$\frac{1}{2}$）上递减，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\sqrt{a}≥\frac{1}{2}}\\{\frac{1}{2}+\frac{a}{\frac{1}{2}}≥g（\frac{1}{2}）=\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得：a≥$\frac{1}{4}$，
a＜0时，|f（x）|要在（0，$\frac{1}{2}$）递减，
则$\left\{\begin{array}{l}{f（\frac{1}{2}）=\frac{1}{2}+\frac{a}{\frac{1}{2}}≤0}\\{|f（\frac{1}{2}）|=-（\frac{1}{2}+\frac{a}{\frac{1}{2}}）≥\frac{3}{4}}\end{array}\right.$，解得：a≤-$\frac{5}{8}$，
综上，a≤-$\frac{5}{8}$或a≥$\frac{1}{4}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及二次函数的性质，是一道中档题．