Question

若函数f（x）在定义域内的一个区间[a，b]（a＜b）上函数值的取值范围恰好是[

a

2

，

b

2

]，则称区间[a，b]是函数f（x）的有关减半压缩区间，若函数f（x）=

x-1

+m存在一个减半压缩区间[a，b]（b＞a≥1），则实数m的取值范围是（　　）

• A、（0，

  1

  2

  ）
• B、（0，

  1

  2

  ]
• C、（

  1

  2

  ，1]
• D、（

  1

  2

  ，1）

Answer 1

考点：函数的值域

专题：函数的性质及应用

分析：通过求导容易判断f（x）在[a，b]上是增函数，所以f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]，所以得到

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，所以方程

x-1

+m=

x

2

有两个不等实根，令

x-1

=t，t≥0，x=t²+1，所以该方程变成t²-2t+1-2m=0，所以这个关于t的方程有两不等实根，且小根大于等于0，所以得到

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解该不等式组即得m的取值范围．

解答： 解：f′（x）=

1

2 x-1

＞0；
∴函数f（x）在[a，b]上是增函数；
∴x∈[a，b]时，f（x）∈[

a-1

+m，

b-1

+m]；
∵[a，b]是f（x）的减半压缩区间；
∴f（x）∈[

a

2

，

b

2

]；
∴

a-1

+m=

a

2

，

b-1

+m=

b

2

，即方程

x-1

+m=

x

2

有两不等实根；
令

x-1

=t(t≥0)，x=t²+1，所以该方程变成：
t²-2t+1-2m=0，则关于t的一元二次方程有两个不等实根，且两根非负；
∴

△=4-4(1-2m)＞0 1-2m≥0

，解得0＜m≤

1

2

；
∴实数m的取值范围是：（0，

1

2

]．
故选B．

点评：考查函数导数符号和函数单调性的关系，根据单调性求函数的值域，一元二次方程的解的情况和判别式△的关系，以及韦达定理．