Question

8．若不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＜0，当a＞b＞c时成立，则λ的取值范围是（4，+∞）．

Answer 1

分析 由题意可得$\frac{λ}{a-c}$＞$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$，即 λ＞（a-c）（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）成立．由基本不等式可得右边的最小值等于4，故λ＞4．

解答 解：a＞b＞c，即有a-b＞0，b-c＞0，a-c＞0，
不等式$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$+$\frac{λ}{c-a}$＜0，
即为$\frac{λ}{a-c}$＞$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$，
即λ＞（a-c）（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）成立．
把a-c=a-b+b-c，代入上式可得，
[（a-b）+（b-c）}（$\frac{1}{a-b}$+$\frac{1}{b-c}$）=2+$\frac{b-c}{a-b}$+$\frac{a-b}{b-c}$≥2+2$\sqrt{\frac{b-c}{a-b}•\frac{a-b}{b-c}}$=4，
当且仅当a-b=b-c时，取得最小值4．
则λ＞4，
故答案为：（4，+∞）．

点评 本题主要考查基本不等式的应用，函数的成立问题，注意运用转化思想，考查运算能力，属于中档题．