Question

1．若0＜b≤a，证明$\frac{a-b}{a}$≤ln$\frac{a}{b}$≤$\frac{a-b}{b}$．

Answer 1

分析 构造函数f（x）=lnx，利用导数的定义，结合不等式的基本性质，即可证明结论成立．

解答 证明：设f（x）=lnx，x＞0，因为0＜b≤a，
所以f（x）=lnx在区间[b，a]上单调递增，在区间（b，a）内可导，
根据导数的定义有：f′（x）=$\frac{△y}{△x}$=$\frac{f（a）-f（b）}{a-b}$  （b＜x＜a），
因为f′（x）=$\frac{1}{x}$，所以有：lna-lnb=$\frac{1}{x}$（a-b）   （b＜x＜a）；
因为0＜b＜x＜a，所以0＜$\frac{1}{a}$＜$\frac{1}{x}$＜$\frac{1}{b}$，
又a-b≥0，所以$\frac{a-b}{a}$≤$\frac{1}{x}$≤$\frac{a-b}{b}$，
即：$\frac{a-b}{a}$≤ln$\frac{a}{b}$≤$\frac{a-b}{b}$．

点评 本题考查了利用函数的基本性质证明不等式的应用问题，是综合性题目．