Question

16．已知直线l经过点P（-2，6），倾斜角α=$\frac{π}{4}$，圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ．
（Ⅰ）写出直线l的参数方程，并把圆C的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）设圆C上的点A到直线l的距离最小，点B到直线l的距离最大，求点A，B的横坐标之积．

Answer 1

分析 （I）由题意可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=6+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，利用ρ²=x²+y²，x=ρcosθ即可化为直角坐标方程．
（II）经过圆心（1，0）且与直线l垂直的直线方程为：y=-（x-1），即直线AB的方程．与圆的方程联立化为：2x²-4x+1=0．利用根与系数的关系即可得出．

解答 解：（I）由题意可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=-2+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\\{y=6+\frac{\sqrt{2}}{2}t}\end{array}\right.$（t为参数）．圆C的极坐标方程是ρ=2cosθ即ρ²=2ρcosθ，化为直角坐标方程：x²+y²=2x，配方为（x-1）²+y²=1．
（II）经过圆心（1，0）且与直线l垂直的直线方程为：y=-（x-1），即直线AB的方程．
联立$\left\{\begin{array}{l}{y=-x+1}\\{{x}^{2}+{y}^{2}=2x}\end{array}\right.$，化为：2x²-4x+1=0．
∴x₁x₂=$\frac{1}{2}$．
∴点A，B的横坐标之积为x₁x₂=$\frac{1}{2}$．

点评 本题考查了极坐标与直角坐标方程的互化、参数方程化为普通方程、相互垂直的直线斜率之间的关系、直线与圆相交、一元二次方程的根与系数的关系、点到直线的距离公式公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．