Question

5．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F（3，0）．N为直线x=4上任意一点，过点F做直线FN的垂线l，直线l与椭圆C交于A，B两点，M为线段AB的中点，O为坐标原点．
（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）证明：O，M，N三点共线；
（Ⅲ）若2|OM|=|MN|，求l的方程．

Answer 1

分析 （I）由椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F（3，0），及a²=b²+c²，求得a²，b²，即可求椭圆C的标准方程；
（Ⅱ）设N（4，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB的中点为M（x₀，y₀），得到直线AB的方程，代入椭圆方程，运用韦达定理和中点坐标公式，结合三点共线的方法：斜率相等，即可得证；
（Ⅲ）由（Ⅱ）中M和N的坐标，结合O，M，N三点共线，且2|OM|=|MN|列式求得m值，则直线l的方程可求．

解答 （I）解：∵椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的离心率为$\frac{{\sqrt{3}}}{2}$，右焦点为F（3，0），
∴c=3，$\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{3}}{2}$．
∴a=$2\sqrt{3}$，b=$\sqrt{3}$．
∴椭圆C的标准方程为$\frac{{x}^{2}}{12}+\frac{{y}^{2}}{3}=1$；
（Ⅱ）证明：设N（4，m），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
AB的中点为M（x₀，y₀），k_NF=m，
由F（3，0），可设直线AB的方程为x=-my+3，
代入椭圆方程可得（m²+4）y²-6my-3=0，
∴y₁+y₂=$\frac{6m}{{m}^{2}+4}$，y₁y₂=-$\frac{3}{{m}^{2}+4}$，于是M（$\frac{12}{{m}^{2}+4}，\frac{3m}{{m}^{2}+4}$），
则直线OM的斜率k_OM=$\frac{\frac{3m}{{m}^{2}+4}}{\frac{12}{{m}^{2}+4}}=\frac{m}{4}$，
又k_ON=$\frac{m}{4}$，
∴k_OM=k_ON，
∴O，N，N三点共线；
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，M（$\frac{12}{{m}^{2}+4}，\frac{3m}{{m}^{2}+4}$），
N（4，m），且O，M，N三点共线；
又2|OM|=|MN|，
则2$•\frac{12}{{m}^{2}+4}$=$4-\frac{12}{{m}^{2}+4}$，解得：m=$±\sqrt{5}$．
∴l的方程为$x=±\sqrt{5}y+3$，即$x±\sqrt{5}y-3=0$．

点评 本题考椭圆方程的求法，考查直线与圆锥曲线位置关系的应用，考查计算能力，是中档题．