Question

△ABC的三个顶点在平面α的同侧，所在平面不与α平行，AA′⊥α于A′，BB′⊥α于B′，CC′⊥α于C′，G、G′分别为△ABC和△A′B′C′的重心．
（1）求证：GG′⊥α；
（2）若AA′=a，BB′=b，CC′=c，求GG′的长．

Answer 1

考点：点、线、面间的距离计算,直线与平面垂直的性质

专题：计算题,空间位置关系与距离

分析：（1）取AC的中点D，A'C'的中点为D'，连接DD'，由重心的性质和线面垂直的性质，即可得证；
（2）运用梯形的中位线定理，以及三等分点公式，即可得到GG'．

解答： （1）证明：取AC的中点D，A'C'的中点为D'，
连接DD'，则DD'∥BB'，
由于G，G'分别为重心，则

BG

GD

=

B′G′

G′D′

=2，
则GG'∥BB'，
由于BB′⊥α，则GG′⊥α；
（2）解：由于AA′=a，BB′=b，CC′=c，
则DD'=

a+c

2

，
即有GG'=

b+2× a+c 2

1+2

=

a+b+c

3

．

点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，考查线面垂直的性质定理，考查点到平面的距离，考查三角形的重心的性质，属于中档题．