Question

已知数列{a_n}中a₁=1，a_n+1=2a_n+an²+bn+c（n∈N^*）．a，b，c为实常数．
（Ⅰ）若a=b=0，c=1，求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）若a=-1，b=3，c=0．
①是否存在常数λ，μ使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，若存在，求出λ，μ的值，若不存在，请说明理由；
②设 b_n=

1

an+n-2n-1

，S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n．证明：n≥2时，S_n＜

5

3

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）当a=b=0，c=1时，a_n+1=2a_n+1，变形为a_n+1+1=2（a_n+1），利用等比数列的通项公式即可得出．
（II）当a=-1，b=3，c=0时．a_n+1=2a_n-n²+3n，
①假设存在常数λ，μ使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，可得an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2（a_n+λn²+μn），化为a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n+（-λ-μ）．可得

μ-2λ=3 λ=-1 -λ-μ=0

，解出即可．
②由①可得：a_n-n²+n=（1-1+1）×2^n-1=2^n-1，a_n=n²-n+2^n-1．因此b_n=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

．
利用当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．可得S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n-1

-

1

n

)=2-

1

n

，即可得出．

解答： 解：（I）当a=b=0，c=1时，a_n+1=2a_n+1，∴a_n+1+1=2（a_n+1），
∴数列{a_n+1}是等比数列，
∴an+1=2×2n-1，
∴an=2n-1．
（II）当a=-1，b=3，c=0时．a_n+1=2a_n-n²+3n，
①假设存在常数λ，μ使得数列{a_n+λn²+μn}是等比数列，
则an+1+λ(n+1)2+μ(n+1)=2（a_n+λn²+μn），
化为a_n+1=2a_n+λn²+（μ-2λ）n+（-λ-μ）．
∴

μ-2λ=3 λ=-1 -λ-μ=0

，解得λ=-1，μ=1．
∴存在常数λ=-1，μ=1使得数列{a_n-n²-n}是等比数列．
②由①可得：a_n-n²+n=（1-1+1）×2^n-1=2^n-1，
∴a_n=n²-n+2^n-1．
∴b_n=

1

an+n-2n-1

=

1

n2

．
∵当n≥2时，

1

n2

＜

1

n(n-1)

=

1

n-1

-

1

n

．
∴S_n=b₁+b₂+b₃+…+b_n=1+

1

22

+

1

32

+…+

1

n2

＜1+(1-

1

2

)+（

1

2

-

1

3

）+…+(

1

n-1

-

1

n

)
=2-

1

n

≤2-

1

2

=

3

2

＜

5

3

．

点评：本题考查了等比数列的定义及其通项公式、“裂项求和”、放缩法，考查了讨论能力与计算能力，属于难题．