Question

已知sin(α-β)=

5

13

，sin(α+β)=-

4

5

且α-β∈(

π

2

，π)，α+β∈(

3π

2

，2π)，求sin2α，cos2β的值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,二倍角的正弦,二倍角的余弦

专题：计算题,三角函数的求值

分析：根据α+β，α-β的范围，利用诱导公式求出角的余弦值，再根据两角和的正弦公式与两角差的余弦公式计算可得答案．

解答： 解：∵α-β∈(

π

2

，π)，α+β∈(

3π

2

，2π)，
∴cos（α-β）=-

12

13

，cos（α+β）=

3

5

，
sin2α=sin[（α+β）+（α-β）]=sin（α+β）cos（α-β）+cos（α+β）sin（α-β）=-

4

5

×（-

12

13

）+

3

5

×

5

13

=

63

65

；
cos2β=cos[（α+β）-（α-β）]=cos（α+β）cos（α-β）+sin（α+β）sin（α-β）=

3

5

×（-

12

13

）+（-

4

5

）×

5

13

=-

56

65

．

点评：本题考查两角和的正弦公式与两角差的余弦公式的应用，解题的关键是利用诱导公式求α+β，α-β的余弦值．