Question

已知函数f（x）=alog₂²x+2alog₂x+1在区间[

1

8

，4]上的最大值为4，求实数a的值．

Answer 1

考点：复合函数的单调性

专题：函数的性质及应用

分析：令t=log₂x，则有f（x）=g（t）=a（t+1）²+1-a，-3≤t≤2．再分当a＞0时和当a＜0时两种情况，分别利用二次函数的性质，根据g（t）的最大值为4求得a的值，从而得出结论．

解答： 解：令t=log₂x，
则有f（x）=g（t）=at²+2at+1=a（t+1）²+1-a，
∵x∈[

1

8

，4]，
∴-3≤t≤2．
当a＞0时，则当t=2时，g（t）取得最大值为 9a+1-a=4，解得a=

3

8

．
当a＜0时，则当t=-1时，g（t）取得最大值为1-a=4，解得a=-3．
综上可得，a=

3

8

，或-3．

点评：本题主要考查二次函数的性质，体现了转化以及分类讨论的数学思想，属于中档题．