Question

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，当x∈（-∞，0）时，有xf′（x）＜f（-x）成立．（其中f′（x）是f（x）的导函数），若a=

1

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f（

1

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），b=f（1），c=log₂

1

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f（log₂

1

4

）则a，b，c的大小关系是（　　）

• A、a＞b＞c
• B、c＞b＞a
• C、b＞a＞c
• D、c＞a＞b

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：由“当x∈（-∞，0）时不等式xf′（x）＜f（-x），即f（x）+xf′（x）＜0成立”知xf（x）是减函数，要得到a，b，c的大小关系，只要比较

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，1，|log₂

1

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|的大小即可．

解答： 解：∵当x∈（-∞，0）时不等式xf′（x）＜f（-x），即f（x）+xf′（x）＜0成立，
即：（xf（x））′＜0，
∴xf（x）在 （-∞，0）上是减函数．
又∵函数y=f（x）是定义在R上的奇函数，
∴xf（x）是定义在R上的偶函数，
∴xf（x）在 （0，+∞）上是增函数．
又∵|log₂

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|＞1＞

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，
∴log₂

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f（log₂

1

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）＞f（1）＞

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f（

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），
即：c＞b＞a，
故选：B

点评：本题主要考查由已知函数构造新函数用原函数的性质来研究新函数．是导数与函数的综合应用，难度中档．