Question

已知a，b都是区间[0，4]内任取的一个数，那么函数f（x）=

1

3

x³-ax²+b²x+2在x∈R上是增函数的概率是

 

．

Answer 1

考点：几何概型

专题：概率与统计

分析：这是一个几何概型问题，我们可以先画出a，b∈[0，4]，对应的平面区域的面积，然后再求出满足条件函数f（x）在R上是增函数时对应的平面区域的面积，计算出对应的面积后，代入几何概型公式即可得到答案．

解答： 解：f'（x）=x²-2ax+b²
若函数f（x）在R上是增函数，则对于任意x∈R，f'（x）≥0恒成立．
所以，△=4a²-4b²≤0，即（a+b）（a-b）≤0
设“f（x）在R上是增函数”为事件A，则事件A对应的区域为{（a，b）|（a+b）（a-b）≤0}
全部试验结果构成的区域{Ω=（a，b）|0≤a≤4，0≤b≤4}，如图．
所以函数f（x）在R上是增函数的概率是

1 2 ×4×4

4×4

=

1

2

．
故答案为：

1

2

点评：这是一个几何概型的概率题，本题的关键是找到事件对应的区域和试验的全部结果，根据几何概型公式就可以算出结果．