Question

5．在△ABC中，2AB=3AC，∠A=$\frac{π}{3}$，∠BAC的平分线交边BC于点D，|AD|=1，则（　　）

• A． AB•AC=$\sqrt{2}$AB+AC
• B． AB+AC=$\sqrt{2}$AB•AC
• C． AB•AC=$\sqrt{3}$AB+AC
• D． AB+AC=$\sqrt{3}$AB•AC

Answer 1

分析 令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC、cosB 由∠BAC的平分线交边BC于点D的DB，在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB，解得k即可．

解答 解：如图所示，令AB=3k，AC=2k，在△ABC中，由余弦定理得BC²=AC²+AB²-2AB•ACcosA=7k²．
⇒BC=$\sqrt{7}k$．
由余弦定理得AC²=BC²+AB²-2AB•BCcosB⇒cosB=$\frac{2}{\sqrt{7}}$．
∵∠BAC的平分线交边BC于点D∴$\frac{AB}{AC}=\frac{BD}{DC}=\frac{3}{2}$，∴DB=$\frac{3}{5}\sqrt{7}k$．
在△ABD中，由余弦定理得AD²=AB²+BD²-2AB•BDcosB=1，解得k=$\frac{5}{6\sqrt{3}}$
经验证D满足，故选D．

点评 本题考查了解三角形，余弦定理的运用是关键，属于中档题．