Question

12．向量$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{b}$均为非零向量，$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，则$\overrightarrow a，\overrightarrow b$的夹角为$\frac{π}{3}$．

Answer 1

分析 根据向量垂直得出|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，代入向量的夹角公式计算即可．

解答 解：∵$（\overrightarrow a-2\overrightarrow b）⊥\overrightarrow a，（\overrightarrow b-2\overrightarrow a）⊥\overrightarrow b$，
∴${\overrightarrow{a}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，${\overrightarrow{b}}^{2}$-2$\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}$=0，
即|$\overrightarrow{a}$|=|$\overrightarrow{b}$|=$\sqrt{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$，
∴cos＜$\overrightarrow{a}，\overrightarrow{b}$＞=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{|\overrightarrow{a}||\overrightarrow{b}|}$=$\frac{\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}{2\overrightarrow{a}•\overrightarrow{b}}$=$\frac{1}{2}$，
∴$\overrightarrow{a}与\overrightarrow{b}$的夹角为$\frac{π}{3}$．
故答案为$\frac{π}{3}$．

点评 本题考查了平面向量垂直与数量积的关系，平面向量的夹角公式，属于中档题．