题目内容
2．已知F1、F2为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P为双曲线C右支上一点，直线PF1与圆x2+y2=a2相切，且|PF2|=|F1F2|，则双曲线C的离心率为（ ）| A． | $\frac{\sqrt{10}}{3}$ | B． | $\frac{4}{3}$ | C． | $\frac{5}{3}$ | D． | 2 |
分析 设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，取PF1的中点N，连接NF2，由切线的性质和等腰三角形的三线合一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．一，运用中位线定理和勾股定理，可得|PF1|=4b，再由双曲线的定义和a，b，c的关系及离心率公式，计算即可得到．
解答 
解：设直线PF1与圆x2+y2=a2相切于点M，
则|OM|=a，OM⊥PF1，
取PF1的中点N，连接NF2，
由于|PF2|=|F1F2|=2c，则NF2⊥PF1，|NP|=|NF1|，
由|NF2|=2|OM|=2a，
则|NP|=$\sqrt{4{c}^{2}-4{a}^{2}}$=2b=2b，
即有|PF1|=4b，
由双曲线的定义可得|PF1|-|PF2|=2a，
即4b-2c=2a，即2b=c+a，
4b2=（c+a）2，即4（c2-a2）=（c+a）2，
4（c-a）=c+a，即3c=5a，
则e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{3}$．
故选：C．
点评 本题考查双曲线的方程和性质，考查离心率的求法，运用中位线定理和双曲线的定义是解题的关键．
练习册系列答案
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7．下列命题中，真命题为（ ）
| A． | ?x0∈R，e${\;}^{{x}_{0}}$≤0 | |
| B． | ?x∈R，2x＞x2 | |
| C． | 已知a，b为实数，则a+b=0的充要条件是$\frac{a}{b}$=-1 | |
| D． | 已知a，b为实数，则a＞1，b＞1是ab＞1的充分不必要条件． |