Question

20．非零向量$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$的夹角为$\frac{π}{3}$，且满足|$\overrightarrow{n}$|=λ|$\overrightarrow{m}$|（λ＞0），向量组$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$由一个$\overrightarrow{m}$和两个$\overrightarrow{n}$排列而成，向量组$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$由两个$\overrightarrow{m}$和一个$\overrightarrow{n}$排列而成，若$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$所有可能值中的最小值为4$\overrightarrow{m}$²，则λ=$\frac{8}{3}$．

Answer 1

分析 列出向量组的所有排列，计算所有可能的值，根据最小值列出不等式组解出．

解答 解：$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=|$\overrightarrow{m}$|×λ|$\overrightarrow{m}$|×cos$\frac{π}{3}$=$\frac{λ}{2}$$\overrightarrow{m}$²，${\overrightarrow{n}}^{2}$=λ²$\overrightarrow{m}$²，
向量组$\overrightarrow{{x}_{1}}$，$\overrightarrow{{x}_{2}}$，$\overrightarrow{{x}_{3}}$共有3种情况，即（$\overrightarrow{m}$，$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{n}$），（$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$），（$\overrightarrow{n}，\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$），
向量组$\overrightarrow{{y}_{1}}$，$\overrightarrow{{y}_{2}}$，$\overrightarrow{{y}_{3}}$共有3种情况，即（$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}$），（$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}，\overrightarrow{m}$），（$\overrightarrow{n}$，$\overrightarrow{m}，\overrightarrow{m}$），
∴$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$所有可能值有2种情况，即${\overrightarrow{m}}^{2}$+${\overrightarrow{n}}^{2}$+$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=（λ²+λ+1）${\overrightarrow{m}}^{2}$，3$\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}$=$\frac{3λ}{2}$${\overrightarrow{m}}^{2}$，
∵$\overrightarrow{{x}_{1}}$•$\overrightarrow{{y}_{1}}$+$\overrightarrow{{x}_{2}}$•$\overrightarrow{{y}_{2}}$+$\overrightarrow{{x}_{3}}$•$\overrightarrow{{y}_{3}}$所有可能值中的最小值为4$\overrightarrow{m}$²，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}+λ+1≤\frac{3λ}{2}}\\{{λ}^{2}+λ+1=4}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{{λ}^{2}+λ+1≥\frac{3λ}{2}}\\{\frac{3λ}{2}=4}\end{array}\right.$．
解得λ=$\frac{8}{3}$．
故答案为$\frac{8}{3}$．

点评 本题考查了平面向量的数量积运算，属于中档题．