题目内容
已知
=（1，cosx），
=（sin2x，2cosx），且f（x）=
•
-1．
（1）求函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（2）证明：无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
| a |
| b |
| a |
| b |
（1）求函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间；
（2）证明：无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
考点：平面向量数量积的运算,三角函数中的恒等变换应用
专题：三角函数的图像与性质,平面向量及应用
分析：（1）利用向量数量积运算和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性即可得出；
（2）利用导数的几何意义即可得出．
（2）利用导数的几何意义即可得出．
解答：
（1）解：f（x）=
•
-1=sin2x+2cos2x-1=sin2x+cos2x=
sin(2x+
)．
由-
+2kπ≤2x+
≤
+2kπ解得kπ-
≤x≤kπ+
，k∈Z．
又x∈[0，π]，∴x∈[0，
]，[
，π]．
因此函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间是[0，
]，[
，π]．
（2）证明：∵y′=2
cos(2x+
)≤2
，
∴函数y=f（x）的图象的切线的斜率最大值为2
，因此无论m为何值，直线4x-y+m=0与函数y=f（x）的图象不相切．
| a |
| b |
| 2 |
| π |
| 4 |
由-
| π |
| 2 |
| π |
| 4 |
| π |
| 2 |
| 3π |
| 8 |
| π |
| 8 |
又x∈[0，π]，∴x∈[0，
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
因此函数y=f（x），x∈[0，π]的单调增区间是[0，
| π |
| 8 |
| 5π |
| 8 |
（2）证明：∵y′=2
| 2 |
| π |
| 4 |
| 2 |
∴函数y=f（x）的图象的切线的斜率最大值为2
| 2 |
点评：本题考查了向量数量积运算和两角和差的正弦公式、正弦函数的单调性、导数的几何意义等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
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