Question

已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）经过点P（2，

2

），且离心率为

2

2

，
（1）求椭圆的方程；
（2）设B₁，B₂为椭圆C的下、上顶点，过B₁作斜率为k₁（k₁≠0）的直线l₁交椭圆C于点M，过B₂作斜率为k₂（k₂≠0）的直线l₂交椭圆C于点N．若k₁+3k₂=0，证明：直线MN经过定点P（0，4）．

Answer 1

考点：椭圆的简单性质

专题：

分析：（1）由题意可得a²和b²的方程组，解之可得椭圆方程；（2）联立方程

y=k1x-2 x2 8 + y2 4 =1

消y并整理可得(2k12+1)x2-8k1x=0，可得x=0或x=

8k1

2k12+1

，将x=

8k1

2k12+1

代入y=k₁x-2，可得M和N的坐标，分别可得直线MP的斜率k₃，和直线NP的斜率k₄，可判三点M、N、P共线，可得结论．

解答： 解：（1）由题意可得

4

a2

+

2

b2

=1，

b

a

=

1-e2

=

1-( 2 2 )2

=

2

2

，
解得a²=8，b²=4，
∴椭圆C的方程为

x2

8

+

y2

4

=1；
（2）由（1）可得B₁（0，-2），
∴直线l₁的方程为y=k₁x-2，
联立方程

y=k1x-2 x2 8 + y2 4 =1

消y并整理可得(2k12+1)x2-8k1x=0，
解得x=0或x=

8k1

2k12+1

，将x=

8k1

2k12+1

代入y=k₁x-2
可得y=k₁

8k1

2k12+1

-2=

4k12-2

2k12+1

，即M（

8k1

2k12+1

，

4k12-2

2k12+1

）
同理可得N的坐标为（

-8k2

2k22+1

，-

4k22-2

2k22+1

），
∴直线MP的斜率k₃=

4k12-2 2k12+1 -4

8k1 2k12+1

=-

2k12+3

4k1

=

18k22+3

12k2

=

6k22+1

4k2

，
直线NP的斜率k₄=

- 4k22-2 2k2+1 -4

-8k22 2k22+1

=

6k22+1

4k2

=k₃，
∴三点M、N、P共线，
∴直线MN经过定点P（0，4）．

点评：本题考查椭圆的简单性质，涉及直线与椭圆的位置关系，属中档题．