题目内容
5．已知抛物线C：y2=2px（p＞0）和圆M：（x-4）2+y2=1，且圆M上的点到抛物线的准线的距离的最大值为$\frac{21}{4}$．（Ⅰ）求抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设D，E是抛物线C上异于坐标原点O，且位于x轴两侧的两点，若$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=12，求证：直线DE经过圆心M；
（Ⅲ）过抛物线上的一点P作圆M的两条切线，它们分别交抛物线于另外两点A，B，若|PA|=|PB|，求直线AB的方程．
分析 （Ⅰ）求出抛物线的准线，由题意可得4+$\frac{p}{2}$+1=$\frac{21}{4}$，解得p，进而得到抛物线的方程和焦点坐标；
（Ⅱ）设出D，E的坐标，由向量的数量积的坐标表示，可得y1y2=-4，再由三点共线的条件：斜率相等，计算即可得证；
（Ⅲ）由切线长相等和对称性，可得P与O重合，设出切线的方程，运用点到直线的距离公式，计算即可得到切线方程，代入抛物线的方程，求得交点，即可得到所求直线的方程．
解答 解：（Ⅰ）抛物线C：y2=2px（p＞0）的准线的方程为x=-$\frac{p}{2}$，
由题意可得4+$\frac{p}{2}$+1=$\frac{21}{4}$，解得p=$\frac{1}{2}$，
即有抛物线的方程为y2=x，焦点为（$\frac{1}{4}$，0）；
（Ⅱ）证明：设D（y12，y1），E（y22，y2），y1y2＜0，
由$\overrightarrow{OD}$•$\overrightarrow{OE}$=12，可得y12•y22+y1y2-12=0，解得y1y2=-4，
由M（4，0），可得直线MD的斜率为k1=$\frac{{y}_{1}-0}{{{y}_{1}}^{2}-4}$，
直线ME的斜率为k2=$\frac{{y}_{2}-0}{{{y}_{2}}^{2}-4}$，k1-k2=$\frac{（{y}_{1}-{y}_{2}）（{y}_{1}{y}_{2}+4）}{（{{y}_{1}}^{2}-4）（{{y}_{2}}^{2}-4）}$=0，
则有k1=k2，直线DE经过点M；
（Ⅲ）由圆的对称性和圆外一点作切线，切线长相等，
以及抛物线关于x轴对称，又|PA|=|PB|，
可得P与O重合，
设切线的方程为y=kx，由直线和圆相切，可得
$\frac{|4k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，解得k=±$\frac{\sqrt{15}}{15}$，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{\sqrt{15}}{15}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$，解得交点为（15，$\sqrt{15}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{\sqrt{15}}{15}x}\\{{y}^{2}=x}\end{array}\right.$可得另一个交点为（15，-$\sqrt{15}$）．
则所求直线的方程为x=15．
点评 本题考查抛物线的方程和性质，考查向量的数量积的坐标表示和直线的斜率公式的运用，直线和圆相切的条件，以及抛物线的对称性，考查运算能力，属于中档题．
| A． | $y=\sqrt{x^2}，y={（\sqrt{x}）^2}$ | B． | $y=\sqrt{x-1}×\sqrt{x+1}，y=\sqrt{{x^2}-1}$ | ||
| C． | $y=1，y=\frac{x}{x}$ | D． | $y=\left\{\begin{array}{l}x，x≥0\\-x，x＜0\end{array}\right.$y=|x| |
| A． | a⊥b，且a与b相交 | B． | a⊥b，且a与b不相交 | ||
| C． | a⊥b | D． | a与b不一定垂直 |
| A． | （-∞，-6） | B． | [-6，0] | C． | （-∞，-1] | D． | [-1，0] |