Question

14．在△ABC中内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，a=$\sqrt{2}$，S为△ABC的面积，则S+$\sqrt{2}$cosBcosC的最大值为（　　）

• A． 4
• B． $\sqrt{2}$
• C． $\sqrt{3}$
• D． 2

Answer 1

分析 先利用余弦定理求得sinA，进而通过正弦定理表示出c，代入面积公式求得S+$\sqrt{2}$cosBcosC的表达式，利用两角和与差的余弦函数公式化简求得其最大值．

解答 解：∵tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$，
∴tanA=$\frac{\sqrt{2}bc}{{b}^{2}+{c}^{2}-{a}^{2}}$=-$\frac{\sqrt{2}}{2sinA}$，
∴sinA=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
由正弦定理 c=a•$\frac{sinC}{sinA}$，
∴S=$\frac{1}{2}acsinB$=$\sqrt{2}$sinBsinC
∴S+$\sqrt{2}$cosBcosC=$\sqrt{2}$sinBsinC+$\sqrt{2}$cosBcosC=$\sqrt{2}$cos（B-C）≤$\sqrt{2}$，
故选：B．

点评 本题主要考查了正弦定理和余弦定理的应用．求得面积的表达式是解决问题的关键．