Question

10．已知实数x，y满足：$\left\{\begin{array}{l}{x+2y-5≤0}\\{2x+y-4≤0}\\{x≥0，y≥0}\end{array}\right.$，则由不等式组确定的可行域的面积为$\frac{13}{4}$；记max{a，b}={$\left\{\begin{array}{l}{a，a≥b}\\{b，a＜b}\end{array}\right.$，则z=max{3x+2y，x+3y}的最大值为$\frac{15}{2}$．

Answer 1

分析 先画出满足条件的平面区域，求出面积即可，再结合图象分别求出3x+2y和x+3y的最大值，从而求出答案．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{2x+y-4=0}\\{x+2y-5=0}\end{array}\right.$，解得：A（1，2），
而B（0，$\frac{5}{2}$），D（2，0），
∴S_ABCD=$\frac{1}{2}$×1×$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$（1+2）×2=$\frac{13}{4}$；
令z₁=3x+2y，得：y=-$\frac{3}{2}$x+$\frac{{z}_{1}}{2}$，
显然直线过A（1，2）时z₁最大，最大值是7，
令z₂=x+3y，得：y=-$\frac{1}{3}$x+$\frac{{z}_{2}}{3}$，
显然直线过B（0，$\frac{5}{2}$）时，z₂最大，最大值是$\frac{15}{2}$，
故z=max{3x+2y，x+3y}的最大值为$\frac{15}{2}$，
故答案为：$\frac{13}{4}$，$\frac{15}{2}$．

点评 本题考察了简单的线性规划问题，考察数形结合思想，是一道中档题．