Question

5．若实数x，y满足x²+y²+4x-2y+4=0，则$\frac{y}{x}$的取值范围是（　　）

• A． $（{-∞，-\frac{4}{3}}]∪[{0，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\frac{3}{4}}]∪[{0，+∞}）$
• C． $[{-\frac{3}{4}，0}]$
• D． $[{-\frac{4}{3}，0}]$

Answer 1

分析 圆C是以C（-2，1）为圆心，r=1为半径的圆，$\frac{y}{x}$的最值就是求过原点与圆上一点连线斜率的最值，相切时有最值，由此能求出$\frac{y}{x}$的取值范围．

解答 解：实数x，y满足x²+y²+4x-2y+4=0，
圆心C（-2，1），半径r=$\frac{1}{2}\sqrt{16+4-16}$=1，
如图，圆C是以C（-2，1）为圆心，
r=1为半径的圆，
过O作圆C的切线OA，OB，则OA=OB=2，
AC=BC=1，OC=$\sqrt{5}$，
tan∠AOC=$\frac{AC}{AO}$=$\frac{1}{2}$，
∴tan∠AOB=tan2∠AOC=$\frac{2×\frac{1}{2}}{1-（\frac{1}{2}）^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴k_OB=-tan∠AOB=-$\frac{4}{3}$，k_OA=0，
∵$\frac{y}{x}$的最值就是求过原点与圆上一点连线斜率的最值，相切时有最值，
∴$\frac{y}{x}$的取值范围是[-$\frac{4}{3}$，0]．
故选：D．

点评 本题考查点的纵坐标与横坐标的比值的取值范围的求法，考查直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．