Question

15．已知圆C：x²+（y-4）²=4，直线l过点（-2，0）．
（1）当直线l与圆C相切时，求直线l的一般式方程；
（2）当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|≥2$\sqrt{2}$时，求直线l斜率的取值范围．

Answer 1

分析 （1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2；当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），由圆心C（0，4）到直线l的距离等于半径，能求出直线l的方程．
（2）圆C：x²+（y-4）²=4的圆心C（0，4），半径r=2，设直线l的方程为y=k（x+2），由直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|≥2$\sqrt{2}$，列出不等式，由此能求出直线l斜率的取值范围．

解答 解：（1）当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x=-2，满足条件；
当直线l的斜率k存在时，设直线l的方程为y=k（x+2），
则圆心C（0，4）到直线l的距离：
d=$\frac{|0-4+2k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=2，解得k=$\frac{3}{4}$，
∴直线l的方程为：y=$\frac{3}{4}$（x+2），
综上，直线l的方程为3x-4y+6=0或x=-2．
（2）圆C：x²+（y-4）²=4的圆心C（0，4），半径r=2，
设直线l的方程为y=k（x+2），
直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|≥2$\sqrt{2}$，
则圆心C（0，4）到直线l的距离：
d=$\frac{|2k-4|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$≤$\sqrt{{r}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-2}$=$\sqrt{2}$，
解得1≤k≤7，
∴直线l斜率的取值范围是[1，7]．

点评 本题考查切线方程的求法，考查直线斜率的取值范围的求法，考查圆的性质、直线与圆的位置关系，考查推理论证能力、运算求解能力，考查转化化归思想、数形结合思想，是中档题．