Question

14．已知m∈R，命题p：对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m 恒成立；命题q：存在x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立．
（1）若p为真命题，求m 的取值范围；
（2）当a=1 时，若p且q为假，p或q为真，求m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m 恒成立，可得-2≥m²-3m，解得m范围．
（2）a=1时，存在x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立．可得m≤1．由p且q为假，p或q为真，可得p与q必然一真一假，即可得出．

解答 解：（1）对任意x∈[0，1]，不等式2x-2≥m²-3m 恒成立，∴-2≥m²-3m，解得1≤m≤2．
（2）a=1时，存在x∈[-1，1]，使得m≤ax 成立．∴m≤1．
∵p且q为假，p或q为真，
∴p与q必然一真一假，
∴$\left\{\begin{array}{l}{1≤m≤2}\\{m＞1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{m＜1或m＞2}\\{m≤1}\end{array}\right.$，
解得1＜m≤2或m＜1．
∴m的取值范围是（-∞，1）∪（1，2]．

点评 本题考查了不等式的性质与解法、恒成立问题的等价转化方法、简易逻辑的判定方法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．