Question

16．若函数$f（x）=alnx+\frac{1}{x}$在区间$（{\frac{1}{2}，+∞}）$上单调递增，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （-∞，-2]
• B． （-∞，-1]
• C． [1，+∞）
• D． [2，+∞）

Answer 1

分析 求导数f′（x），根据已知的f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增可得到ax-1≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立，而a=0和a＜0都不能满足ax-1≥0恒成立，所以需a＞0．所以一次函数y=ax-1为增函数，所以有a-1≥0，这样即求出了实数a的取值范围．

解答 解：f′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$；
∵f（x）在（$\frac{1}{2}$，+∞）上单调递增；
∴f′（x）≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立；
∴ax-1≥0在（$\frac{1}{2}$，+∞）上恒成立；
显然，需a＞0；
∴函数y=ax-1在[$\frac{1}{2}$，+∞）上是增函数；
∴$\frac{1}{2}$a-1≥0，a≥2；
∴实数a的取值范围是[2，+∞）．
故选：D．

点评 考查函数的单调性和函数导数符号的关系，以及一次函数的单调性，以及对增函数定义的运用．