Question

17．已知△ABC为锐角三角形，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
（1）求角A的大小；
（2）设关于角B的函数f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B，求f（B）的值域．

Answer 1

分析 （1）由余弦定理可得：2accosB=a²+c²-b²，代入b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
可得-2accosB=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，化为sin2A=$\frac{1}{2}$，A为锐角，解得A．
（2）利用倍角公式与和差公式可得：f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B═$\sqrt{3}$$sin（2B+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，根据B为锐角，即可得出．

解答 解：（1）由余弦定理可得：2accosB=a²+c²-b²，∵b²-a²-c²=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
∴-2accosB=（$\frac{cosC}{sinA}$-$\frac{sinC}{cosA}$）ac，
化为：-2cosBsinAcosA=cos（A+C）=-cosB，
∴2sinAcosA=1，即sin2A=$\frac{1}{2}$，
∵A为锐角，∴2A=$\frac{π}{6}$或$\frac{5π}{6}$．
解得A=$\frac{π}{12}$或$\frac{5π}{12}$．
（2）f（B）=2cosBsin（B+$\frac{π}{6}$）-2sin²B
=2cosB$（\frac{\sqrt{3}}{2}sinB+\frac{1}{2}cosB）$-2sin²B=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+cos²B-2sin²B
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{1+cos2B}{2}$+cos2B-1
=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2B+$\frac{3}{2}$cos2B-$\frac{1}{2}$
=$\sqrt{3}$$sin（2B+\frac{π}{3}）$-$\frac{1}{2}$，
∵$π＞A+B＞\frac{π}{2}$，B为锐角，∴B∈$（\frac{5π}{12}，\frac{π}{2}）$或B∈$（0，\frac{π}{12}）$．
∴（2B+$\frac{π}{3}$）∈$（\frac{7π}{6}，\frac{4π}{3}）$或$（\frac{π}{3}，\frac{π}{2}）$．
∴f（B）的值域为$（-2，-\frac{\sqrt{3}+1}{2}）$或$（1，\sqrt{3}-\frac{1}{2}）$．

点评 本题考查了余弦定理、三角函数求值、倍角公式与和差公式、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．