题目内容

已知抛物线y=-
x2
2
与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．
（1）求直线l的方程；
（2）求△AOB的面积．
（1）显然直线l的斜率必存在，设直线l的方程为y=kx-1，A（x1，y1），B（x2，y2），
由
y=kx-1
y=-
x2
2
得x2+2kx-2=0，
∴x1+x2=-2k，x1x2=-2．
∵
y1
x1
+
y2
x2
=1，
∴
kx1-1
x1
+
kx2-1
x2
=2k-
x1+x2
x1x2
=2k-
-2k
-2
=1，解得k=1
所以直线l的方程为y=x-1．
（2）解法1：∵|x1-x2|=
4k2+8
=2
3
，|OM|=1．
∴S△AOB=
1
2
|x1-x2||OM|=
3
．
解法2：∵|AB|=
1+K2
|x1-x2|=
1+K2
4k2+8
=2
6
．
h=
1
2
．
S△AOB=
1
2
|AB|•h=
3
．
练习册系列答案
相关题目
已知双曲线（b＞0）的焦点，则b=（）
A．3B．C．D．
若直线mx+ny-5=0与圆x2+y2=5没有公共点，则过点P（m，n）的一条直线与椭圆
x2
7
+
y2
5
=1的公共点的个数是（　　）
A．0B．1C．2D．1或2
已知椭圆C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的左焦点为F（-1，0），离心率为
2
2
，过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点，线段AB的垂直平分线与x轴交于点G，求点G横坐标的取值范围．
如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T
①求证：
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
=|b|(
1
y1
+
1
y2
)
②求
|ST|
|SP|
+
|ST|
|SQ|
的取值范围．
如图，椭圆C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若b=1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|=
3
，求△AOB面积的最大值．
直线l：x-y=0与椭圆
x2
2
+y2=1相交A、B两点，点C是椭圆上的动点，则△ABC面积的最大值为______．
如图，A、B分别是椭圆
y2
a2
+
x2
b2
=1(a＞b＞0)的上、下两顶点，P是双曲线
y2
a2
-
x2
b2
=1上在第一象限内的一点，直线PA、PB分别交椭圆于C、D点，如果D恰是PB的中点．
（1）求证：无论常数a、b如何，直线CD的斜率恒为定值；
（2）求双曲线的离心率，使CD通过椭圆的上焦点．
已知直线x-y+1=0经过椭圆S：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的一个焦点和一个顶点．
（1）求椭圆S的方程；
（2）如图，M，N分别是椭圆S的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C，连接AC，并延长交椭圆于点B，设直线PA的斜率为k．
①若直线PA平分线段MN，求k的值；
②对任意k＞0，求证：PA⊥PB．

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