题目内容

如图，椭圆C：x2+3y2=3b2（b＞0）．
（1）求椭圆C的离心率；
（2）若b=1，A，B是椭圆C上两点，且|AB|=
3
，求△AOB面积的最大值．
（1）由x2+3y2=3b2 得
x2
3b2
+
y2
b2
=1，
所以e=
c
a
=
3b2-b2
3b2
=
6
3
；
（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），△ABO的面积为S．
如果AB⊥x轴，由对称性不妨记A的坐标为（
3
2
，
3
2
），此时S=
1
2
•
3
2
•
3
=
3
4
；
如果AB不垂直于x轴，设直线AB的方程为y=kx+m，代入椭圆方程，可得x2+3（kx+m） 2=3，
即（1+3k2）x2+6kmx+3m2-3=0，又△=36k2m2-4（1+3k2） （3m2-3）＞0，
所以x1+x2=-
6km
1+3k2
，x1x2=
3m2-3
1+3k2
，
所以（x1-x2）2=（x1+x2）2-4x1x2=
12(1+3k2-m2)
(1+3k2)2
，①
由|AB|=
1+k2
•|x1-x2|及|AB|=
3
得（x1-x2）2=
3
1+k2
，②
结合①，②得m2=（1+3k2）-
(1+3k2)2
4(1+k2)
．
又原点O到直线AB的距离为
|m|
1+k2
，
所以S=
1
2
•
|m|
1+k2
•
3
，
因此S2=
3
4
•
m2
1+k2
=
3
16
（
1+3k2
1+k2
-2）2+
3
4
≤
3
4
，
故S≤
3
2
，当且仅当
1+3k2
1+k2
=2，即k=±1时上式取等号．
又
3
2
＞
3
4
，故Smax=
3
2
．
练习册系列答案
相关题目
（本题15分）已知曲线C是到点和到直线

距离相等的点的轨迹，l是过点Q（-1，0）的直线，
M是C上（不在l上）的动点；A、B在l上，
轴（如图）。
（Ⅰ）求曲线C的方程；
（Ⅱ）求出直线l的方程，使得为常数。
若直线l被圆x2+y2=4所截得的弦长为2
3
，l与曲线
x2
3
+y2=1的公共点个数为（　　）
A．1个B．2个C．1个或2个D．1个或0个
已知抛物线C1：y=x2，F为抛物线的焦点，椭圆C2：
x2
2
+
y2
a2
=1（0＜a＜2）；
（1）若M是C1与C2在第一象限的交点，且|MF|=
3
4
，求实数a的值；
（2）设直线l：y=kx+1与抛物线C1交于A，B两个不同的点，l与椭圆C2交于P，Q两个不同点，AB中点为R，PQ中点为S，若O在以RS为直径的圆上，且k2＞
1
2
，求实数a的取值范围．
已知抛物线y=-
x2
2
与过点M（0，-1）的直线l相交于A、B两点，O为原点．若OA和OB的斜率之和为1．
（1）求直线l的方程；
（2）求△AOB的面积．
已知点B（6，0）和点C（-6，0），过点B的直线l与过点C的直线m相交于点A，设直线l的斜率为k1，直线m的斜率为k2，
（1）如果k1•k2=-
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的焦点坐标；
（2）如果k1•k2=
4
9
，求点A的轨迹方程，并写出此轨迹曲线的离心率；
（3）如果k1•k2=k（k≠0，k≠-1），根据（1）和（2），你能得到什么结论？（不需要证明所得结论）
设双曲线C：
x2
a2
-
y2
b2
=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，且|F1F2|=4，一条渐近线的倾斜角为60°．
（I）求双曲线C的方程和离心率；
（Ⅱ）若点P在双曲线C的右支上，且△PF1F2的周长为16，求点P的坐标．
过抛物线y2=2px（p＞0）的焦点F作直线与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆与抛物线的准线的位置关系是（　　）
A．相交B．相切
C．相离D．与p的取值相关
已知椭圆
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0)的离心率为e=
3
2
，直线x+y+1=0与椭圆交于P、Q两点，且OP⊥OQ，求该椭圆方程．

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