题目内容
如图，P是抛物线C：x2=2y上一点，F为抛物线的焦点，直线l过点P且与抛物线交于另一点Q，已知P（x1，y1），Q（x2，y2）．
（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T
①求证：
+
=|b|(
+
)
②求
+
的取值范围．
（1）若l经过点F，求弦长|PQ|的最小值；
（2）设直线l：y=kx+b（k≠0，b≠0）与x轴交于点S，与y轴交于点T
①求证：
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
②求
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
（1）∵F为抛物线的焦点，∴F(0，
)
设直线l：y=kx+
，
联立
，得x2-2kx-1=0（﹡）
则|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+
)+(y2+
)=y1+y2+1=k(x1+x2)+2．
由（﹡）得x1+x2=2k，带入上式得|PQ|=2k2+2≥2，当仅当k=0时|PQ|的最小值为2；
（2）证明：如图，
①分别过P，Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥x轴，垂足分别为P′，Q′，
则
+
=
+
=
+
=|b|(
+
)
②联立
，消去x，得y2-2（k2+b）y+b2=0（﹟）
则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2．
（方法1）
而
+
=|b|(
+
)≥2|b|
=2|b|
=2
而y1，y2可取一切不相等的正数∴
+
的取值范围为（2，+∞）．
（方法2）
+
=|b|(
+
)=|b|
=|b|
当b＞0时，上式=
+2＞2；
当b＜0时，上式=
．
由（﹟）式△＞0得k2+2b＞0即k2＞-2b
于是
+
＞
=2
综上，
+
的取值范围为（2，+∞）．
| 1 |
| 2 |
设直线l：y=kx+
| 1 |
| 2 |
联立
|
则|PQ|=|PF|+|QF|=(y1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
由（﹡）得x1+x2=2k，带入上式得|PQ|=2k2+2≥2，当仅当k=0时|PQ|的最小值为2；
（2）证明：如图，
①分别过P，Q作PP′⊥x轴，QQ′⊥x轴，垂足分别为P′，Q′，
则
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
| |OT| |
| |P/P| |
| |OT| |
| |Q/Q| |
| |b| |
| |y1| |
| |b| | ||
|y
|
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
②联立
|
则y1+y2=2(k2+b)，y1y2=b2．
（方法1）
而
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
|
|
而y1，y2可取一切不相等的正数∴
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
（方法2）
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
| 1 |
| y1 |
| 1 |
| y2 |
| y1+y2 |
| y1y2 |
| 2(k2+b) |
| b2 |
当b＞0时，上式=
| 2k2 |
| b |
当b＜0时，上式=
| 2(k2+b) |
| -b |
由（﹟）式△＞0得k2+2b＞0即k2＞-2b
于是
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
| 2(-2b+b) |
| -b |
综上，
| |ST| |
| |SP| |
| |ST| |
| |SQ| |
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