题目内容
已知椭圆C:
+
=1(a>b>0)的左焦点为F(-1,0),离心率为
,过点F的直线l与椭圆C交于A、B两点.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
| ||
2 |
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)设过点F不与坐标轴垂直的直线交椭圆C于A、B两点,线段AB的垂直平分线与x轴交于点G,求点G横坐标的取值范围.
(Ⅰ)由题意可知:c=1,a2=b2-c2,e=
=
…(2分)
解得:a=
,b=1(3分)
故椭圆的方程为:
+y2=1(4分)
(II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),(5分)
联立,得
,
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0(7分)
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根.(8分)
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0)
则x1+x2=
(9分)
x0=
,y0=
(10分)
垂直平分线NG的方程为y-y0=-
(x-x0),(11分)
令y=0,得xG=x0+ky0=-
+
=-
=-
+
.(12分)
∵k≠0,∴-
<xG<0(13分)
∴点G横坐标的取值范围为(-
,0).(14分)
c |
a |
| ||
2 |
解得:a=
2 |
故椭圆的方程为:
x2 |
2 |
(II)设直线AB的方程为y=k(x+1)(k≠0),(5分)
联立,得
|
整理得(1+2k2)x2+4k2x+2k2-2=0(7分)
∵直线AB过椭圆的左焦点F∴方程有两个不等实根.(8分)
记A(x1,y1),B(x2,y2),AB的中点N(x0,y0)
则x1+x2=
-4k2 |
1+2k2 |
x0=
x1+x2 |
2 |
y1+y2 |
2 |
垂直平分线NG的方程为y-y0=-
1 |
k |
令y=0,得xG=x0+ky0=-
2k2 |
2k2+1 |
k2 |
2k2+1 |
k2 |
2k2+1 |
=-
1 |
2 |
1 |
4k2+2 |
∵k≠0,∴-
1 |
2 |
∴点G横坐标的取值范围为(-
1 |
2 |
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