Question

9．已知直线l₁∥l₂，A是l₁，l₂之间的一定点，并且A点到l₁，l₂的距离分别为1，2，B是直线l₂上一动点，作AC⊥AB且使AC与直线l₁交于点C，则△ABC的面积最小值为（　　）

• A． 2
• B． 3
• C． 4
• D． 5

Answer 1

分析 如图所示，建立直角坐标系．直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0，直线AC的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，
可得△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|，再利用基本不等式的性质即可得出．

解答 解：如图所示，建立直角坐标系．
直线AB的斜率存在，设方程为：y=kx，k≠0．
则直线AC的方程为：y=-$\frac{1}{k}$x，
∴B（2，2k），C$（-1，\frac{1}{k}）$．
∴△ABC的面积S=$\frac{1}{2}$|AB|•|AC|=$\frac{1}{2}\sqrt{4+4{k}^{2}}$×$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$=$\sqrt{2+{k}^{2}+\frac{1}{{k}^{2}}}$≥2，
当且仅当k=±1时取等号．
∴△ABC的面积最小值为2．
故选：A．

点评 本题考查了相互垂直的直线斜率之间的关系、三角形面积计算公式、基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．