Question

20．设函数f（x）=4sinx•sin²（${\frac{π+2x}{4}}$）-sin²x+cos²x．
（1）求函数f（x）在[0，2π）内的单调递增区间；
（2）设集合A={x|$\frac{π}{6}$≤x≤$\frac{2π}{3}$}，B={x|-2＜f（x）-m＜2}，若A⊆B，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 将函数化为y=Asin（ωx+φ）的形式，将内层函数放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；x∈[0，2π），k取不同的值，可得在x∈[0，π]的单调递增区间．
（2）当-2＜f（x）-m＜2，在x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，转化求f（x）+2的最小值，求f（x）-2的值最大值，即可求实数m的取值范围．

解答 解：函数f（x）=4sinx•sin²（${\frac{π+2x}{4}}$）-sin²x+cos²x．
化简：f（x）=4sinx•$\frac{1-cos（\frac{π}{2}+x）}{2}$-sin²x+cos²x．
=2sinx（1+sinx）-sin²x+cos²x．
=2sinx+2sin²x-sin²x+cos²x．
=2sinx+1，
∵x∈[0，2π）
由正弦函数的性质可知：x∈[$2kπ-\frac{π}{2}$，$2kπ+\frac{π}{2}$]是单调递增区间，
∴当k=0时，可得[0，$\frac{π}{2}$]是单调递增区间，
当k=1时，可得[$\frac{3π}{2}$，2π]是单调递增区间，
故得f（x）在x∈[0，2π）上的增区间是[0，$\frac{π}{2}$]和[$\frac{3π}{2}$，2π）．
（2）由（1）可知f（x）=2sinx+1
∵A⊆B
∴则x∈[$\frac{π}{6}$，$\frac{2π}{3}$]时，使-2＜f（x）-m＜2恒成立，转化为：f（x）-2＜m＜2+f（x）恒成立；
等价于：[f（x）-2]_max＜m＜[2+f（x）]_min
当x=$\frac{π}{6}$时，f（x）取得最小值为2．
当x=$\frac{π}{2}$时，f（x）取得最大值为3．
∴[f（x）-2]_max=1，[2+f（x）]_min=4
故得：1＜m＜4
所以实数m的取值范围（1，4）．

点评 本题考查了三角函数的化简能力以及三角函数性质的运用解决恒成立问题．属于中档题．