Question

1．已知三棱锥S-ABC中，底面ABC为边长等于$\sqrt{3}$的等边三角形，SA垂直于底面ABC，SA=1，那么三棱锥S-ABC的外接球的表面积为5π．

Answer 1

分析 由已知结合三棱锥和正三棱柱的几何特征，可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球，分别求出棱锥底面半径r，和球心距d，代入R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$，可得球的半径R，即可求出三棱锥S-ABC的外接球的表面积．

解答 解：根据已知中底面△ABC是边长为$\sqrt{3}$的等边三角形，SA垂直于底面ABC，
可得此三棱锥外接球，即为以△ABC为底面以SA为高的正三棱柱的外接球
∵△ABC是边长为$\sqrt{3}$的正三角形，
∴△ABC的外接圆半径r=1，
球心到△ABC的外接圆圆心的距离d=$\frac{1}{2}$
故球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$=$\frac{\sqrt{5}}{2}$
故三棱锥P-ABC外接球的表面积S=4πR²=5π．
故答案为5π．

点评 本题考查的知识点是球内接多面体，求出球的半径R=$\sqrt{{r}^{2}+{d}^{2}}$是解答的关键．