Question

17．已知f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$），则f（x）的值域为$[1，\sqrt{2}+1]$．

Answer 1

分析 将函数化简，利用换元法，结合三角函数的图象及性质求出换元参数的范围，再求f（x）的值域．

解答 解：f（x）=sinx+cosx+2sinxcosx，x∈[0，$\frac{π}{2}$），
化简f（x）=（sinx+cosx）²+sinx+cosx-1
设sinx+cosx=t，
则t=$\sqrt{2}$sin（x$+\frac{π}{4}$），
那么函数化简为：g（t）=t²+t-1．
∵x∈[0，$\frac{π}{2}$），
∴x$+\frac{π}{4}$∈[$\frac{π}{4}$，$\frac{3π}{4}$），
所以：$1≤t≤\sqrt{2}$．
∵函数g（t）=t²+t-1．
开口向上，对称轴t=$-\frac{1}{2}$，
∴$1≤t≤\sqrt{2}$是单调递增．
当t=1时，g（t）取得最小值为1，
当t=$\sqrt{2}$时，g（t）取得最大值为$\sqrt{2}+1$，
所以函数的值域为$[1，\sqrt{2}+1]$．
故答案为$[1，\sqrt{2}+1]$．

点评 本题考查了三角函数的化简能力以及三角函数性质的运用．利用三角函数的有界限求值域．属于中档题．