Question

3．已知命题p：不等式x²-ax-8＞0对任意实数x∈[2，4]恒成立；命题q：存在实数θ满足$\frac{4}{a-1}≤sinθ-2$；命题r：不等式ax²+2x-1＞0有解．
（1）若p∧q为真命题，求a的取值范围．
（2）若命题p、q、r恰有两个是真命题，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）若p∧q为真命题，则命题p，q均为真命题，进而可得a的取值范围．
（2）根据命题p、q、r恰有两个是真命题，可得满足条件的实数a的取值范围．

解答 解：（1）若命题p为真命题，则$a＜x-\frac{8}{x}$对任意实数x∈[2，4]恒成立
∴$a＜{（{x-\frac{8}{x}}）_{min}}=-2$，即a＜-2．…（3分）
若命题q为真命题，则$\frac{4}{a-1}≤{（{sinθ-2}）_{max}}=-1$，
∴$\frac{4}{a-1}≤-1?\frac{a+3}{a-1}≤0?-3≤a＜1$
又∵p∧q为真命题，
∴命题p，q均为真命题，
∴-3≤a＜-2…..（6分）
即a的取值范围为[-3，-2）…（7分）
（2）若不等式ax²+2x-1＞0有解，则
当a＞0时，显然有解；当a=0时，ax²+2x-1＞0有解；
当a＜0时，∵ax²+2x-1＞0有解，∴△=4+4a＞0，∴-1＜a＜0，
∴不等式ax²+2x-1＞0有解等价于a＞-1，…（10分）
∴若命题p、q、r恰有两个是真命题，
则必有-3≤a＜-2或-1＜a＜1
即a的取值范围为[-3，-2）∪（-1，1）．…（12分）

点评 本题以命题的真假判断与应用为载体，考查了复合命题，不等式恒成立问题，存在性问题，二次函数的图象和性质，难度中档．