根据平面向量基本定理.若$\overrightarrow{e 1}.\overrightarrow{e 2}$为一组基底.同一平面的向量$\overrightarrow a$可以被唯一确定地表示为$\overrightarrow a=x\overrightarrow{e 1}+y\overrightarrow{e 2}$.则向量$\overrightarrow a$与有序实数对为向� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

题目内容

13．

根据平面向量基本定理，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$为一组基底，同一平面的向量$\overrightarrow a$可以被唯一确定地表示为$\overrightarrow a=x\overrightarrow{e_1}+y\overrightarrow{e_2}$，则向量$\overrightarrow a$与有序实数对（x，y）一一对应，称（x，y）为向量$\overrightarrow a$在基底$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$下的坐标；特别地，若$\overrightarrow{e_1}，\overrightarrow{e_2}$分别为x，y轴正方向的单位向量$\overrightarrow i，\overrightarrow j$，则称（x，y）为向量$\overrightarrow a$的直角坐标．
（I）据此证明向量加法的直角坐标公式：若$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，则$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$；
（II）如图，直角△OAB中，$∠AOB={90°}，|\overrightarrow{OA}|=1，|\overrightarrow{OB}|=\sqrt{3}$，C点在AB上，且$\overrightarrow{OC}⊥\overrightarrow{AB}$，求向量$\overrightarrow{OC}$在基底$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$下的坐标．

分析（ I）利用平面向量的坐标运算即可证明结论成立；
（ II）【解法一】（向量法），根据几何性质得出$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$即可；
【解法二】（向量法）根据几何性质得出$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，再用$\overrightarrow{OA}$、$\overrightarrow{OB}$表示$\overrightarrow{OC}$即可；
【解法三】（坐标法）以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$方向为x，y轴正方向建立直角坐标系，
利用坐标表示求出$\overrightarrow{OC}$的坐标即可．

解答解：（ I）证明：根据题意：$\overrightarrow a=（{x_1}，{y_1}），\overrightarrow b=（{x_2}，{y_2}）$，
∴$\overrightarrow{a}$=x₁$\overrightarrow{i}$+y₁$\overrightarrow{j}$，$\overrightarrow{b}$=x₂$\overrightarrow{i}$+y₂$\overrightarrow{j}$，（2分）
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}）\overrightarrow i+（{y_1}+{y_2}）\overrightarrow j$，（4分）
∴$\overrightarrow a+\overrightarrow b=（{x_1}+{x_2}，{y_1}+{y_2}）$；（6分）
（ II）【解法一】（向量法）：根据几何性质，易知
∠OAB=60°，∴|$\overrightarrow{CA}$|=$\frac{1}{2}$，|$\overrightarrow{CB}$|=$\frac{3}{2}$；
从而$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{3}\overrightarrow{CB}$，
∴$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{3}$（$\overrightarrow{CO}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴$\frac{4}{3}$$\overrightarrow{OC}$=$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{3}$$\overrightarrow{OB}$，
化简得：$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$；
∴$\overrightarrow{OC}$在基底$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$下的坐标为$（\frac{3}{4}，\frac{1}{4}）$．
【解法二】（向量法）：同上可得：$\overrightarrow{AC}=\frac{1}{4}\overrightarrow{AB}$，
∴$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OC}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AO}$+$\overrightarrow{OB}$），
∴$\overrightarrow{OC}$=$\frac{3}{4}$$\overrightarrow{OA}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{OB}$；从而求得坐标表示．
【解法三】（坐标法）：以O为坐标原点，$\overrightarrow{OA}，\overrightarrow{OB}$方向为x，y轴正方向建立直角坐标系，
则$A（1，0），B（0，\sqrt{3}）$，由几何意义易得C的直角坐标为$（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）$；
设$\overrightarrow{OC}=x\overrightarrow{OA}+y\overrightarrow{OB}$，则
$（\frac{3}{4}，\frac{{\sqrt{3}}}{4}）=x（1，0）+y（0，\sqrt{3}）=（x，\sqrt{3}y）$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{4}=x}\\{\frac{\sqrt{3}}{4}=\sqrt{3}y}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{3}{4}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
即得坐标为（$\frac{3}{4}$，$\frac{1}{4}$）．（12分）