Question

已知椭圆方程

x2

2

+y²=1，AB为椭圆的弦，且AB=2，求AB的中点M的轨迹方程．

Answer 1

考点：轨迹方程,椭圆的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：首先对直线进行分类讨论（1）斜率不存在时（2）斜率存在时两种情况：然后重点对（2）进行分析，建立A、B与中点的坐标关系，求出直线AB的直线方程．进一步建立方程组，求出根和系数的关系式，以弦长为突破口建立等量关系，最后求出中点满足的关系式．

解答： 解：（1）当直线AB的斜率不存在时，当弦长正好是椭圆的短轴时，AB=2
则：中点M的轨迹是原点．
（2）当直线AB的斜率存在时，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）  中点M（x₀，y₀）
则：x₁+x₂=2x₀  y₁+y₂=2y₀

x12 2 +y12=1 x22 2 +y22=1

解得：直线AB的斜率为k=

y2-y1

x2-x1

=-

x0

2y0

进一步求得直线AB的直线方程为：y-y0=-

x0

2y0

(x-x0)
联立得：

y-y0=- x0 2y0 (x-x0) x2 2 +y2=1

整理得：(2y02+x02)x2-(2x03+4y02x0)x+4x02y02x+4x02y02-x04=0
x₁+x₂=2x₀ 
x1x2=

4x02y02-x04

2y02+x02

由于AB=2
则：

1+( -x0 2y0 )2

|x1-x2|=2
即（1+

x02

4y02

)[(x1+x2)2-4x1x2]=4
经过化简得：10x04y02-8x02y04-3x06-8y04-4x02y02=0（-

2

＜x0＜

2

）
即：10x 4y 2-8x 2y 4-3x 6-8y 4-4x 2y 2=0  （-

2

＜x＜

2

）
由于原点满足上式
则：中点M的轨迹方程是：10x 4y 2-8x 2y 4-3x 6-8y 4-4x 2y 2=0（-

2

＜x＜

2

）

点评：本题考查的知识要点：直线与椭圆的位置关系，直线根据斜率的存在性的分类讨论，弦长公式的应用，根和系数的关系，及相关的运算问题．