Question

设命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，命题q：实数x满足 

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0.

．
（1）若a=1，且p∧q为真，求实数x的取值范围；
（2）若?p是?q的充分不必要条件，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：复合命题的真假,必要条件、充分条件与充要条件的判断

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：本题（1）根据条件a=1化简命题p、q，利用p∧q为真得到命题p、q均为真，从而求出x的取值范围，得到本题结论；（2）根据条件?p是?q的充分不必要条件，得到命题p、q的逻辑关系，从而得到参数a的关系式，解不等式，求出a的取值范围，得到本题结论．

解答： 解：（1）当a=1时，
∵命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，
∴x²-4x+3＜0，
∴1＜x＜3．
∵命题q：实数x满足 

x2-x-6≤0 x2+2x-8＞0.

．
∴

-2≤x≤3 x＜-4或x＞2

，
∴2＜x≤3．
∵p∧q为真，
∴2＜x＜3．
故实数x的取值范围为（2，3）．
（2）∵￢p是￢q的充分不必要条件，
∴￢p⇒￢q，即q⇒p．
∵命题q：x满足2＜x≤3，
命题p：实数x满足x²-4ax+3a²＜0，其中a＞0，
∴记f（x）=x²-4ax+3a²，

f(2)≤0 f(3)＜0

，
∴

3a2-8a+4≤0 3a2-12a+9＜0

，
∴

3 2 ≤a≤3 1＜a＜3

，
∴

3

2

≤a＜3．
∴实数a的取值范围[

3

2

，3）．

点评：本题考查的是不等式的解法、命题、充要条件，本题难度不大，但有一定的计算量，属于中档题．