Question

已知函数f（x）=e^sinx+cosx-

1

2

sin2x（x∈R），则函数f（x）的最大值与最小值的差是

 

．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：函数的性质及应用

分析：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），则t∈[-

2

，

2

]，且sin2x=t²-1，利用导数法分析y=e^t-

1

2

（t²-1）在[-

2

，

2

]上单调性，进而可得答案．

解答： 解：令t=sinx+cosx=

2

sin（x+

π

4

），则t∈[-

2

，

2

]，
且sin2x=t²-1，
则y=f（x）=e^t-

1

2

（t²-1），
∵y′=e^t-t＞0在t∈[-

2

，

2

]时恒成立，
故y=e^t-

1

2

（t²-1）在[-

2

，

2

]上为增函数，
故函数f（x）的最大值与最小值的差是y| t=

2

-y| t=-

2

=（e

2

-

1

2

）-（e-

2

-

1

2

）=e

2

-e-

2

，
故答案为：e

2

-e-

2

点评：本题主要考查函数求最值，常要借助函数的单调性，因为本题构成比较复杂，所以采用换元法简化函数的解析式．