Question

已知点P到（0，-

3

），（0，

3

）的距离之和为4，设P的轨迹是C，并交直线y=kx+1于A、B两点
（1）求C的方程；
（2）若以AB为直径的圆过原点，求此时k的值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的关系,椭圆的标准方程

专题：直线与圆,圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）根据椭圆的定义，结合题意得出点P的轨迹是椭圆，求出a、b、c的值，即得椭圆C的方程；
（2）设出点A、B的坐标，写出以AB为直径的圆满足的方程，再把直线方程与椭圆方程联立，根据根与系数的关系式，求出k的值．

解答： 解：（1）根据椭圆的定义，得点P的轨迹是椭圆，且c=

3

，2a=4，
∴a=2，
b²=a²-c²=1；
∴椭圆C的方程为：

y2

4

+x²=1；…（4分）
（2）依题意设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵以AB为直径的圆过O点，
∴

OA

•

OB

=0，
∴x₁x₂+y₁y₂=0；…（6分）
直线方程与椭圆方程联立，
得

y=kx+1 x2+ y2 4 =1

，
消去y，得（4+k²）x²+2kx-3=0；
∴

△＞0 x1+x2=- 2k 4+k2 x1x2= -3 4+k2

，…..（8分）
∴y1y2=(kx1+1)(kx2+1)=k2x1x2+k(x1+x2)+1…（10分）
=

-3k2-2k2+4+k2

4+k2

=

-4k2+4

4+k2

；…（11分）
∴x1x2+y1y2=

-4k2+4-3

4+k2

=

1-4k2

4+k2

=0，…（12分）
∴k=±

1

2

．…（14分）

点评：本题考查了直线与圆锥曲线的应用问题，也考查了直线与圆的应用问题，解题时应用直线方程与圆锥曲线方程联立，利用根与系数的关系进行解答，是综合性题目．