Question

在△ABC中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，面积S=

3

2

abcosC．
（1）求角C的大小；
（2）设函数f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

，求f（B）的最大值，及取得最大值时角B的值．

Answer 1

考点：正弦定理,三角函数中的恒等变换应用

专题：解三角形

分析：（1）利用三角形面积公式表示出S，代入已知等式，整理求出tanC的值，即可确定出C的度数；
（2）f（x）解析式利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简，再利用两角和与差的正弦函数公式化为一个角的正弦函数，由C的度数确定出B的范围，进而确定出这个角的范围，利用正弦函数的值域确定出最大值，以及此时B的度数即可．

解答： 解：（1）由S=

1

2

absinC及题设条件得

1

2

absinC=

3

2

abcosC，
即sinC=

3

cosC，即tanC=

3

，
∵0＜C＜π，
∴C=

π

3

；
（2）f（x）=

3

sin

x

2

cos

x

2

+cos²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+

1

2

=sin（x+

π

6

）+

1

2

，
∵C=

π

3

，
∴B∈（0，

2π

3

），
∴

π

6

＜B+

π

6

＜

5π

6

，
当B+

π

6

=

π

2

，即B=

π

3

时，f（B）有最大值是

3

2

．

点评：此题考查了正弦定理，三角形面积公式，二倍角的正弦、余弦函数公式，以及正弦函数的定义域与值域，熟练掌握定理是解本题的关键．