Question

已知函数f（x）=lnx，g（x）=x+a．
（1）当a=0时，求函数y=f（x）•g（x）的单调区间；
（2）当a∈R且|a|≥1时，讨论函数F（x）=

f[g(x)]

f(x)

的极值点个数．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的极值,利用导数研究函数的单调性

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），求导y'=lnx+x

1

x

=lnx+1，由导数的正负确定函数的单调区间；
（2）化简F（x）=

f[g(x)]

f(x)

=

ln(x+a)

lnx

（x＞0且x≠1），求导并令导数为0，化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；由（1）可得|a|＜1，故不成立，故当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．

解答： 解：（1）当a=0时，y=f（x）•g（x）=xlnx的定义域为（0，+∞），
y'=lnx+x

1

x

=lnx+1，又∵当x=

1

e

时，y'=0，
则函数y=f（x）•g（x）在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增；
（2）F（x）=

f[g(x)]

f(x)

=

ln(x+a)

lnx

（x＞0且x≠1），
则令F'（x）=

1 x ln(x+a)- 1 x+a lnx

(lnx)2

=0，
即

1

x

ln(x+a)-

1

x+a

lnx=0，
即（x+a）ln（x+a）-xlnx=0，
若方程有解，
可化为函数y=xlnx有相同的函数值时，自变量分别为x+a，x；
由（1）知，y=xlnx在（0，

1

e

）上单调递减，在（

1

e

，+∞）上单调递增；
故在（0，

1

e

）上，y＜0，在（

1

e

，1）上，y＜0，在（1，+∞）上，y＞0，
故|x+a-x|=|a|＜1，
则方程也解，即不存在x，使F'（x）=0成立；
即，当|a|≥1时，函数F（x）无极值点．

点评：本题考查了导数的综合应用，导数的正负可判断函数的单调性，可导时，存在零点的必要条件是导数为0；从而判断零点的个数，属于难题．