Question

5．若方程x²+ax+b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，则$\frac{b-2}{a-1}$的取值范围（0，1）．

Answer 1

分析 设f（x）=x²+ax+b，根据二次函数的性质与零点存在性定理可得f（0）＞0、f（1）＜0且f（2）＞0．由此建立关于a、b的二元一次不等式组，设点E（a，b）为区域内的任意一点，根据直线的斜率公式可得k=$\frac{b-2}{a-1}$ 表示M、E连线的斜率，将点E在区域内运动并观察直线的倾斜角的变化，即可算出k的取值范围．

解答 解：令f（x）=x²+ax+b，由方程x²+ax+b=0的一个根在（0，1）内，另一个根在（1，2）内，
可得$\left\{\begin{array}{l}{f（0）=b＞0}\\{f（1）=a+b+1＜0}\\{f（2）=2a+b+4＞0}\end{array}\right.$，画出（a，b）的区域，如图所示，△ABC的区域（不含边界）．
其中，A（-1，0）、B（-2，0）、点C（-3，2），
再根据式子则$\frac{b-2}{a-1}$表示可行域内的点E（x，y）与点M（1，2）连线的斜率k，
由于点A对应的k=$\frac{2-0}{1-（-1）}$=1，点C对应的k=0，
故k的范围为（0，1），
故答案为：（0，1）．

点评 本题着重考查了二次函数的性质、零点存在性定理、二元一次不等式组表示的平面区域、直线的斜率公式与两点间的距离公式等知识，属于中档题．