Question

15．矩形ABCD与矩形ABEF全等，且平面ABCD⊥平面ABEF，AD=2AB=2，若$\overrightarrow{FM}$=λ$\overrightarrow{FB}$，$\overrightarrow{AN}$=μ$\overrightarrow{AC}$，λ，μ∈R，λ+μ=1，则|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• C． $\frac{\sqrt{6}}{6}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{3}$

Answer 1

分析 建立空间坐标系，使用坐标表示出$\overrightarrow{MN}$，代入模长公式转化为求最小值问题．

解答 解：建立空间坐标系如图，则A（0，0，0），B（0，1，0），C（0，1，2），F（2，0，0），∴$\overrightarrow{AC}$=（0，1，2），$\overrightarrow{FB}$=（-2，1，0），
$\overrightarrow{FA}$=（-2，0，0）∴$\overrightarrow{AN}$=（0，μ，2μ），$\overrightarrow{FM}$=（-2λ，λ，0）．∴$\overrightarrow{MN}$=-$\overrightarrow{FM}$+$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{AN}$=（2λ-2，μ-λ，2μ）．
∴$\overrightarrow{MN}$²=（2λ-2）²+（μ-λ）²+（2μ）²=5λ²+5μ²-8λ-2λμ+4．∵λ+μ=1，∴λ=1-μ．
∴$\overrightarrow{MN}$²=5（1-μ）²+5μ²-8（1-μ）-2μ（1-μ）+4=12μ²-4μ+1=12（μ-$\frac{1}{6}$）²+$\frac{2}{3}$≥$\frac{2}{3}$．
∴当μ=$\frac{1}{6}$时，$\overrightarrow{MN}$²取得最小值$\frac{2}{3}$，∴|$\overrightarrow{MN}$|的最小值为$\sqrt{\frac{2}{3}}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
故选：D．

点评 本题考查了平面向量的线性运算及几何意义，结合图形表示出$\overrightarrow{MN}$是关键．