题目内容

20．在直角坐标平面内，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$（a为参数），直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2．
（1）分别求出曲线C和直线l的直角坐标方程；
（2）若点P在曲线C上，且点P到直线l的距离为1，求满足这样条件的点P的个数．

分析 （1）消去参数能求出曲线C的普通方程，由ρcosθ=x，ρsinθ=y，能求出直线l的直角坐标方程．
（2）曲线C是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，求出圆心C（0，2）到直线l的距离，能判断出满足条件的点P的个数．

解答 解：（1）∵曲线C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=2cosa}\\{y=2+2sina}\end{array}\right.$（a为参数），
∴曲线C的普通方程为x2+（y-2）2=4，
∵直线l的极坐标方程为ρcos（θ-$\frac{π}{6}$）=2，
∴$\frac{\sqrt{3}}{2}ρcosθ$+$\frac{1}{2}ρsinθ$=2，
∴直线l的直角坐标方程为$\sqrt{3}x+y-4=0$．
（2）∵曲线C：x2+（y-2）2=4是以（0，2）为圆心，以2为半径的圆，
∴圆心C（0，2）到直线l的距离d=$\frac{|2-4|}{\sqrt{3+1}}$=1，
∵点P在曲线C上，且点P到直线l的距离为1，∴满足这样条件的点P的个数有3个．

点评 本题考查曲线的直角坐标方程的求法，考查满足条件的点的个数的判断，是基础题，解题时要注意点到直线距离公式、直线与圆的位置关系的合理运用．

练习册系列答案
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