Question

17．在极坐标系中，已知曲线C₁：ρ=2cosθ和曲线C₂：ρcosθ=3，以极点O为坐标原点，极轴为x轴非负半轴建立平面直角坐标系．
（Ⅰ）求曲线C₁和曲线C₂的直角坐标方程；
（Ⅱ）若点P是曲线C₁上一动点，过点P作线段OP的垂线交曲线C₂于点Q，求线段PQ长度的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）根据极坐标和普通坐标之间的关系进行转化求解即可．
（Ⅱ）设出直线PQ的参数方程，利用参数的几何意义进行求解即可．

解答 解：（ I）C₁的直角坐标方程为（x-1）²+y²=1，…（2分），
C₂的直角坐标方程为x=3；…（4分）
（ II）设曲线C₁与x轴异于原点的交点为A，
∴PQ过点A（2，0），
设直线PQ的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}{x=2+tcosθ}\\{y=tsinθ}\end{array}\right.$，
代入C₁可得t²+2tcosθ=0，解得，
可知|AP|=|t₂|=|2cosθ|…（6分）
代入C₂可得2+tcosθ=3，解得${t^/}=\frac{1}{cosθ}$，
可知$|AQ|=|{t^/}|=|\frac{1}{cosθ}|$                     …（8分）
所以PQ=$|AP|+|AQ|=|2cosθ|+|\frac{1}{cosθ}|≥2\sqrt{2}$，当且仅当$|2cosθ|=|\frac{1}{cosθ}|$时取等号，
所以线段PQ长度的最小值为$2\sqrt{2}$．…（10分）

点评 本题主要考查极坐标方程和普通坐标方程之间的转化，考查学生的转化能力．