Question

5．已知曲线C₁的参数方程是$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$（θ为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，建立平面直角坐标系，曲线C₂的极坐标方程是ρ=-4cosθ．
（1）求曲线C₁和C₂交点的直角坐标；
（2）A、B两点分别在曲线C₁与C₂上，当|AB|最大时，求△OAB的面积．

Answer 1

分析 （1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.$，两式平方作和可得直角坐标方程，由ρ=-4cosθ可得：ρ²=ρcosθ，把ρ²=x²+y²，x=ρcosθ，代入可得直角坐标方程，联立解得交点坐标．
（2）由平面几何知识可知，当A、C₁、C₂、B依次排列且共线时|AB|最大，此时$|{AB}|=2\sqrt{2}+4$，O到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，即可得出．

解答 解：（1）由$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y=2+2sinθ\end{array}\right.$得$\left\{\begin{array}{l}x=2cosθ\\ y-2=2sinθ\end{array}\right.$
两式平方作和得：x²+（y-2）²=4，即x²+y²-4y=0．①
由ρ=-4cosθ⇒ρ²=ρcosθ，即x²+y²=-4x②
②-①：x+y=0，代入曲线C₁的方程得交点为（0，0）和（-2，2）．
（2）由平面几何知识可知，当A、C₁、C₂、B依次排列且共线时|AB|最大，此时$|{AB}|=2\sqrt{2}+4$，O到直线AB的距离为$\sqrt{2}$，
∴△OAB的面积为：$S=\frac{1}{2}×（{2\sqrt{2}+4}）×\sqrt{2}=2+2\sqrt{2}$．

点评 本题考查了极坐标化为直角坐标、参数方程化为普通方程、曲线交点坐标、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．