Question

9．如图，△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，过点G任作一直线MN分别交AB、AC于M、N两点．若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，则$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=4．

Answer 1

分析 根据图形得$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{4}$-x）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，$\overrightarrow{GN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$，利用共线向量的条件得出（$\frac{1}{4}$-x）（y-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$=0，化简即可得出$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$的值即可．

解答 解：根据题意得出，
△ABC中，D为BC的中点，G为AD的中点，
过点G任作一直线MN，分别交AB，AC于M，N两点，
若$\overrightarrow{AM}$=x$\overrightarrow{AB}$，$\overrightarrow{AN}$=y$\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AG}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{AD}$=$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$），
∴$\overrightarrow{MG}$=$\overrightarrow{AG}$-$\overrightarrow{AM}$=（$\frac{1}{4}$-x）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AC}$，
$\overrightarrow{GN}$=$\overrightarrow{AN}$-$\overrightarrow{AG}$=y$\overrightarrow{AC}$-$\frac{1}{4}$（$\overrightarrow{AB}$+$\overrightarrow{AC}$）=-$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{AB}$+（y-$\frac{1}{4}$）$\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{MG}$∥$\overrightarrow{GN}$，
∴（$\frac{1}{4}$-x）（y-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{16}$=0，
即$\frac{1}{4}$（x+y）-xy=0，
∴$\frac{1}{x}$+$\frac{1}{y}$=4，
故答案为：4．

点评 本题考查的知识点是向量的线性运算性质及几何意义，向量的共线定理，及三角形的重心，其中根据$\overrightarrow{MG}$与$\overrightarrow{NG}$共线，根据共线向量基本定理，进而得到x，y的关系式，是解答本题的关键．