Question

7．（1，3班做）一个缆车示意图，该缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，图中OA与地面垂直，以OA为始边，逆时针转动θ角到OB，设B点与地面间的距离为h．
（1）求h与θ间关系的函数解析式；
（2）设从OA开始转动，经过t秒后到达OB，求h与t之间的函数关系式，并求缆车离地面8米时用的最少时间是多少？

Answer 1

分析 （1）以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，则根据缆车半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60秒转动一圈，即可得到h与θ间的函数关系式；
（2）由60秒转动一圈，我们易得点A在圆上转动的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒转过的弧度数为$\frac{π}{30}$t，根据（1）的结论，我们将$\frac{π}{30}$t代入解析式，即可得到满足条件的t值．

解答 解：（1）以圆心O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，
则以Ox为始边，OB为终边的角为θ-$\frac{π}{2}$，
故点B的坐标为（4.8cos（θ-$\frac{π}{2}$），4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）），∴h=5.6+4.8sin（θ-$\frac{π}{2}$）．
（2）点A在圆上转动的角速度是$\frac{π}{30}$，故t秒转过的弧度数为$\frac{π}{30}$t，
∴h=5.6+4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$，t∈[0，+∞）．
当h=8m．
由h=5.6+4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=8，
得4.8sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=2.4
sin$（\frac{π}{30}t-\frac{π}{2}）$=$\frac{1}{2}$
得$\frac{π}{30}$t-$\frac{π}{2}$=$\frac{π}{6}$，
即$\frac{π}{30}$t=$\frac{π}{2}$+$\frac{π}{6}$=$\frac{2π}{3}$，
∴t=20
∴缆车离地面8米时用的最少时间是20秒．

点评 本题考查的知识点是在实际问题中建立三角函数模型，在建立函数模型的过程中，以圆心O为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为Y轴方向建立平面直角坐标系，是解决本题的关键．综合性较强．